Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF＝∠A．

（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；

（2）若∠A＝30°，寫出圖中所有與FD長度相等的線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝EB＝BC＝EC＝DF

【解析】

（1）首先利用三角形中位線的性質得出DE∥BC，進而結合直角三角形的性質得出CE＝AB＝AE，得出∠CDF＝∠ACE，推出DF∥CE，再利用平行四邊形的定義判定即可．

（2）只要證明△EBC是等邊三角形即可判定；

（1）證明：∵D，E分別為AC，AB的中點，

∴DE為△ACB的中位線，

∴DE//BC．

∵CE為Rt△ACB的斜邊上的中線，

∴CE＝AB＝AE．

∴∠A＝∠ACE．

又∵∠CDF＝∠A，

∴∠CDF＝∠ACE．

∴DF//CE．

又∵DE//BC，

∴四邊形DECF為平行四邊形．

（2）解：圖中所有與FD長度相等的線段有：AE、BE、CE、BC；理由如下：

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵EC＝EA＝EB，

∴△EBC是等邊三角形，

∴AE＝EB＝BC＝EC＝DF．