Question

已知平面區域上，坐標x，y滿足|x|+|y|≤1
（1）畫出滿足條件的區域L，并求出面積S；
（2）對區域L作一個內切圓M₁，然后在M₁內作一個內接與此圓與L相同形狀的圖形L₁，在L₁內繼續作圓M₂，…經過無數次后，求所有圓的面積的和．
（提示公式：）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據絕對值的性質去掉絕對值號，作出|x|+|y|≤1的線性規劃區域即可得到區域L，然后根據正方形的面積等于對角線乘積的一半進行求解即可；
（2）求出M₁、M₂的面積，然后根據求解規律，后一個圓得到面積等于前一個圓的面積的，然后列式，再根據等比數列的求和公式求解即可．
解答：解：（1）如圖，|x|+|y|≤1可化為，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四邊形ABCD就是滿足條件的區域L是正方形，
S=×AC×BD=×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如圖，∵A0=1，
∴⊙M₁的半徑為：1×sin45°=，
∴內切圓M₁的面積是：π（）²=π，
同理可得：⊙M₂的半徑為：×sin45°=（）²，
∴內切圓M₂的面積是：π[（）²]²=π×=π（）²，
⊙M₃的半徑為：（）²×sin45°=（）³，
內切圓M₃的面積是：π[（）³]²=π×（）²=π（）³，
…
以此類推，經過n次后，⊙M_n的面積為π（）ⁿ，
∴所有圓的面積的和=π+π（）²+π（）³+…+π（）ⁿ==π[1-（）ⁿ]．
故答案為：（1）2，（2）π[1-（）ⁿ]．
點評：本題綜合考查了一次函數與圓的面積的問題，作出圖形，求出后一個圓的半徑等于前一個圓的半徑的倍是解題的關鍵．