Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，⊙B與⊙O相交于點A、D、AD交BC于點E，交⊙O的直徑BF于點G．
（1）求證：①△ABC∽△EBA；②AE•ED=AB²-EB²．
（2）AB=，BF=15，AE：ED=1：3，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由AD是⊙B與⊙O的公共弦，可得AD⊥OB，由垂徑定理與圓周角定理易得∠C=∠BAD，繼而可證得：△ABC∽△EBA；
②由勾股定理與平方差公式可得在Rt△ABG中，AB²=BG²+AG²，在Rt△EBG中，EB²=BG²+EG²，即AB²-EB²=AG²-EG²=（AG+EG）（AG-EG）=（DG+EG）（AG-EG）=ED•AE；
（2）首先連接OA，CF，由勾股定理可求得BG的長，繼而求得AG與AE，EG的長，即可求得∠EBG的度數，然后由三角函數的求得BC的長．
解答：（1）證明：①∵AD是⊙B與⊙O的公共弦，
∴AD⊥OB，
∴=，
∴∠C=∠BAD，
∵∠ABE=∠CBA（公共角），
∴△ABC∽△EBA；

②∵AD⊥OB，
∴AG=DG，
∵在Rt△ABG中，AB²=BG²+AG²，在Rt△EBG中，EB²=BG²+EG²，
∴AB²-EB²=AG²-EG²=（AG+EG）（AG-EG）=（DG+EG）（AG-EG）=ED•AE，
∴AE•ED=AB²-EB²．

（2）解：連接OA，CF，
∵BF=15，
∴OB=OA=，
設BG=x，
則OE=-x，
在Rt△ABG中，AE²=AB²-BG²，在Rt△OAG中，AE²=OA²-OG²，
∴AB²-BG²=OA²-OG²，
∵AB=，
∴（3）²-x²=（）²-（-x）²，
解得：x=3，
∴BG=3，
∴AG==6，
∴AD=2AG=12，
∵AE：ED=1：，
∴AE=3，
∴EG=AG-AE=3，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠EBG=45°，
∵BF是直徑，
∴∠BCF=90°，
∴BC=BF•cos45°=．
點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相交圓的性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．