Question

如圖1，為了測量小河的寬度，在河岸邊任意取點A，再在河的另一邊取點B、C，測得∠ABC=30°，∠ACD=60°，量得BC的長為12m．
（1）求小河的寬度；
（2）請再設計一種測量河寬的方案（測量工具不限），在圖2中畫出設計草圖，并作簡要說明．

Answer 1

解：（1）過點A作AD⊥BC于點D．
∵∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC=12m．
在Rt△ABD中，∵∠ACD=60°，AC=BC=12m，
∴AD=AC•sin∠ACD=12×=6．
答：小河的寬度為6米；

（2）先在河岸邊任意取點A，測量得∠ABC=90°處取點B，然后取∠ACB=30°，量出BC的長度即可．
分析：（1）過點A作AD⊥BC與D，先根據三角形外角的性質得出∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°=∠ABC，再由等角對等邊得出AC=BC=12m，然后解Rt△ABD，即可求出AD的長度即小河的寬度；
（2）在河岸邊任意取點A，過點A向河的另一邊作AB⊥BC于B，再作∠ACB=30°，然后測量BC的長，則有AB=BC•tan30°，設計方案不唯一．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是把實際問題抽象到直角三角形中，利用公共邊及特殊三角函數值求解．