Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分線，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延長線交于點F．
（1）在圖中找出與△ABD全等的三角形，并說出全等的理由；
（2）說明BD=2EC；
（3）如果AB=5，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）可利用ASA判斷△ABD≌△ACF；
（2）根據（1）可得BD=CF，證明△BFE≌△BCE，可得出EF=CE=

1

2

CF，繼而可得出結論；
（3）過D作DM⊥BC，設AD=DM=MC=x，則可得DC=

2

x，根據AD+DC=AC=AB=5，可得關于x的方程，解出即可得出答案．

解答：證明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，

∠BAD=∠CAF AB=AC ∠ADB=∠ACF

，
∴△ABD≌△ACF（ASA），

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠BAC的平分線，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，

∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．

（3）過D作DM⊥BC，

設AD=DM=MC=x，
則DC=

2

x
由AB=AC=AD+DC可得：x+

2

x=5，
解得：x=5

2

-5，
即如果AB=5，則AD的長為5

2

-5．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，注意掌握全等三角形的判定定理及等量代換的應用，第三問還可以根據BC=MB+MC，得出方程5+x=5

2

，難度一般．