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如圖,在菱形ABCD中,AB=BD.點E、F分別在AB、AD上,且AE=DF.連接BF與DE相交于點G,連接CG與BD相交于點H.下列結論:
①△AED≌△DFB;②S四邊形BCDG=CG2;③若AF=2DF,則BG=6GF.
其中正確的結論( )

A.只有①②
B.只有①③
C.只有②③
D.①②③
【答案】分析:①易證△ABD為等邊三角形,根據“SAS”證明△AED≌△DFB;
②證明∠BGE=60°=∠BCD,從而得點B、C、D、G四點共圓,因此∠BGC=∠DGC=60°.過點C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.證明△CBM≌△CDN,所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN,易求后者的面積.
③過點F作FP∥AE于P點.
根據題意有FP:AE=DF:DA=1:3,則FP:BE=1:6=FG:BG,即BG=6GF.
解答:解:①∵ABCD為菱形,∴AB=AD.
∵AB=BD,∴△ABD為等邊三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB;
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,
即∠BGD+∠BCD=180°,
∴點B、C、D、G四點共圓,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.   
∴∠BGC=∠DGC=60°.
過點C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.
∴CM=CN,
則△CBM≌△CDN,(HL)
∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN
S四邊形CMGN=2S△CMG
∵∠CGM=60°,
∴GM=CG,CM=CG,
∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2
③過點F作FP∥AE于P點.                  
∵AF=2FD,
∴FP:AE=DF:DA=1:3,
∵AE=DF,AB=AD,
∴BE=2AE,
∴FP:BE=1:6=FG:BG,
即 BG=6GF.
故選D.
點評:此題綜合考查了全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例、不規則圖形的面積計算方法等知識點,綜合性較強,難度較大.
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