Question

在直角坐標系中有兩條直線：l₁：y=

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x+2和l₂：y=-2x+4，它們的交點為E，直線l₁與x軸、y軸分別交于點A、B，直線l₂與x軸、y軸分別交于C、D．
（1）求證：△AOB≌△DOC；
（2）若點P（x，y）是直線L₂上第一象限內的一個動點，設△APC的面積為S，求S關于點P的橫坐標x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；求出當P運動到什么位置時，△APC的面積是6；
（3）在（2）的條件下過點P作直線MN∥x軸，交l₁于點M，寫出點M的坐標以及此時線段MP的長．

Answer 1

分析：（1）先根據直線l₁與直線l₂的解析式，分別求出A、B、C、D四個點的坐標，得出OA=OD=4，OB=OC=2，再由∠AOB=∠DOC=90°，根據SAS即可證明△AOB≌△DOC；
（2）先求出AC=OA+OC=6，再根據三角形的面積公式得出△APC的面積S=

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AC•|y_P|=-6x+12，求出S關于點P的橫坐標x的函數關系式為S=-6x+12，根據點P（x，y）是直線l₂上第一象限內的一個動點，得到自變量x的取值范圍；再將S=6代入S=-6x+12，解方程即可求解；
（3）先由過點P（1，2）的直線MN∥x軸，得出M點的縱坐標是2，將y=2代入直線l₁的解析式，求得x=0，得到M點與B點重合，即可求解．

解答：解：（1）對于直線l₁：y=

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x+2，當x=0時，y=2；當y=0時，x=-4；則A（-4，0），B（0，2）；
對于直線l₂：y=-2x+4，當x=0時，y=4；當y=0時，x=2；則C（2，0），D（0，4）；
∴OA=OD=4，OB=OC=2．
在△AOB與△DOC中，

OA=OD ∠AOB=∠DOC=90° OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS）；

（2）∵點P（x，y）是直線l₂上第一象限內的一個動點，
∴0＜x＜2，0＜y＜4．
又∵AC=OA+OC=4+2=6，
∴△APC的面積S=

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AC•|y_P|=

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×6（-2x+4）=-6x+12，
∴S關于點P的橫坐標x的函數關系式為S=-6x+12（0＜x＜2）；
當S=6時，-6x+12=6，
解得x=1，此時y=-2×1+4=2，
∴當P運動到（1，2）時，△APC的面積是6；

（3）如圖，∵過點P（1，2）作直線MN∥x軸，交l₁于點M，
∴M點與P點縱坐標相同，都是2，
當y=2時，

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x+2=2，解得x=0，
∴M（0，2），即M點與B點重合，
∴MP=BP=1．

點評：本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定，三角形的面積，平行于坐標軸上的點的坐標特征以及兩點之間的距離，難度適中．