Question

已知△ABC為等邊三角形，AB=6，P是AB上的一個動點（與A、B不重合），過點P作AB的垂線與BC相交于點D，以點D為正方形的一個頂點，在△ABC內作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上，
（1）設BP的長為x，正方形DEFG的邊長為y，寫出y關于x的函數解析式及定義域；
（2）當BP=2時，求CF的長；
（3）△GDP是否可能成為直角三角形？若能，求出BP的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△BDP中，根據已知條件得BD=2x，在△CEF中，根據已知條件得EC=

3

3

，得y關于x的函數解析式．再求出x的定義域．
（2）BP=2，根據（2）得到的y關于x的函數解析式求出CF的長．
（3）假設△GDP是直角三角形，得△APF是直角三角形，得PF的x、y的函數解析式．再把（2）得到的關于x、y的函數解析式代入PF的函數解析式中，得到BP的長．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6．（1分）
∵DP⊥AB，BP=x，
∴BD=2x．（1分）
又∵四邊形DEFG是正方形，
∴EF⊥BC，EF=DE=y，
∴EC=

3

3

y．（1分）
∴2x+y+

3

3

y=6，（2分）
∴y=(

3

-3)x+9-3

3

．（1分）
（6-3

3

≤x＜3）（1分）

（2）當BP=2時，y=(

3

-3)×2+9-3

3

=3-

3

．（1分）
CF=

2y

3

=2

3

-2．（1分）

（3）△GDP能成為直角三角形．（1分）
①∠PGD=90°時，
6-x=

3

y+y，6-x=(

3

+1)•[(

3

-3)x+9-3

3

]，
得到：x=

30-6 3

11

．（2分）
②∠GPD=90°時，G在AB上，參照（1）．

點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質、解直角三角形、三角形相似、函數等知識．
難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．