Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG，已知DE=4，AE=8．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）求證：OC2=OEOP；
（3）求線段EG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD//AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）得：DF⊥OD，

∴∠ODF=90°，

∵AB⊥CD，

∴由射影定理得：OD2=OEOP，

∵OC=OD，

∴OC2=OEOP

（3）解：連接DG，如圖2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，

∴CD=DE+CE=8，

設OD=OA=x，則OE=8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴CG=2OA=10，

∵CG是⊙O的直徑，

∴∠CDG=90°，

∴DG= = =6，

∴EG= = =2 ．

【解析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質得出∠DAB=∠ADO，再由已知條件得出∠ADO=∠DAF，證出OD//AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結論；（2）由射影定理得出OD2=OEOP，由OC=OD，即可得出OC2=OEOP；（3）連接DG，由垂徑定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．