Question

如圖，AB是半徑為R的圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F，N在半圓上．求證：兩個正方形的面積之和為一定值．

Answer 1

證明：如圖，連接ON，OF，設正方形CDMN的邊長為a，正方形DEFG的邊長為b，
則OE=，OC=，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：-a=b-
得到：+=a+b
兩邊平方得：R²-a²+2•+R²-b²=a²+2ab+b²
整理得：•=a²+b²+ab-R²
兩邊再次平方得：R⁴-（a²+b²）R²+a²b²=（a²+b²+ab）²-2（a²+b²+ab）R²+R⁴，
整理得：a²+b²=R²．
所以兩個正方形的面積之和為一定值，這個值就是R²．
分析：分別設出兩個正方形的邊長，連接ON，OF，在直角三角形中運用勾股定理表示CO，OE的長，把這兩邊的長與正方形的邊長聯系，得到等量關系，然后把得到的定理關系通過兩邊平方化簡，求出兩個正方形的面積的和．
點評：本題考查的是垂徑定理，連接ON，OF，得到兩個直角三角形，根據勾股定理用二次根式表示OE，OC的長，然后由正方形的邊長找到等量關系，通過兩次兩邊平方確定根號，得到兩個正方形的面積和與半徑R的關系，確定兩個正方形的面積和是一定值．