Question

（1999•上海）已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點，AM=AN，MN∥AC．
求證：MN=AC．

Answer 1

【答案】分析：已知MN∥AC，若MN=AC，則四邊形ACMN是平行四邊形，因此證四邊形ACMN是平行四邊形即可，再連接CM，則CM是Rt△ABC斜邊上的中線，得CM=MA=AN，然后通過證AN∥CM來得出四邊形ANMC是平行四邊形，由此得證．
解答：證明：如圖，連接CM，（1分）
∵∠ACB=90°，
∴CM=AM=AB，
∴∠MAC=∠MCA，（1分）
∵AM=AN，∴∠AMN=∠N，（1分）
∵MN∥AC，
∴∠NMA=∠MAC，∠CAN+∠N=180°，
∴∠CAN+∠MCA=180°，
∴AN∥CM，（2分）
∴四邊形ACMN是平行四邊形（1分）
∴MN=AC．（1分）
點評：此題主要考查了直角三角形的性質以及平行四邊形的性質和判定，要學會作合適的輔助線來幫助解題．