Question

（1999•上海）已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），圓O的圓心O在AB上，并分別與AC、BC相切于點P、Q．
（1）求∠POQ的大小（用α表示）；
（2）設D是CA延長線上的一個動點，DE與圓O相切于點M，點E在CB的延長線上，試判斷∠DOE的大小是否保持不變，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，如果AB=m（m為已知數），cosα=，設AD=x，DE=y，求y關于x的函數解析式（要指出函數的定義域）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得∠OAP=∠OBQ=α，再由圓O分別和AC、BC相切，推得∠POQ=2α；
（2）先證明△OEM≌△OEQ，得出兩對相等的角：∠MOE=∠QOE，∠MOD=∠POD，則∠DOE=180°-a，從而得出結論∠DOE的大小保持不變．
（3）由三角函數的定義，求出AP，DM的長，然后證明△ADO∽△BOE，得出比例式，求得BE、ME，表示出DE=DM+ME=，寫出所求的函數解析為y=x+．
解答：解：（1）∵AC=BC，
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圓O分別和AC、BC相切于點P、Q，
∴∠OPA=∠OQB=90°，（1分）
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α（1分）
∴∠POQ=180°-2（90°-a）=2α（1分）

（2）∠DOE的大小保持不變，（1分）
說明理由如下：
連接OM，由切線長定理，EM=EQ
又∵OM=OQ，OE=OE，
∴△OEM≌△OEQ，
∴∠MOE=∠QOE（1分）
同理，∠MOD=∠POD（1分）
∴∠DOE=（∠POM+∠QOM）=（360°-∠POQ）=180°-a，
∵a為定值，
∴∠DOE的大小保持不變．

（3）由OP=OQ，并根據等腰三角形的性質，得O是AB的中點，
即OA=OB=AB=，
AP=BQ=AO•cosa=m，DM=DP=+x（1分）
在△ADO和△BOE中，∠DAO=∠OBE=180°-α
∵∠ADO+∠AOD=∠OAP=α，
又∵∠BOE+∠AOD=180°-∠DOE=α，
∴∠ADO=∠BOE，于是△ADO∽△BOE（1分）
∴，BE==（1分）
∴ME=QE=QB+BE=（1分）
∴DE=DM+ME==
因此所求的函數解析為y=x+．（1分）
點評：此題作為壓軸題，綜合考查函數、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質等知識．難度較大，有利于培養同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．