Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連接CD、OD，給出以下5個結論：①OD∥AC；②AC=2CD；③CE=OE；④S_△AEC=2S_△DEO；⑤線段OD是DE與DA的比例中項；其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根據等腰三角形的性質和角平分線的性質，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②過點O作OG⊥AC，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可證；
③在△AEC和△AEO中，只有∠CAD=∠DAO，其它兩角都不相等，不能證明△AEC和△AEO全等，
④利用相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質得出即可；
⑤△ADO和△DOE不相似，故線段OD不是DE與DA的比例中項．
解答：證明：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①選項正確．

②過點O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴=，
∵半徑OC⊥AB于點O，
∴==，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故②選項錯誤．

③∵在△AEC和△AEO中，只有∠CAD=∠DAO，其它兩角都不相等，
∴不能證明△AEC和△AEO全等，
∴故③選項錯誤；

④過點E作EM⊥AC于點M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=ME=EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴=，
∴=（）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故此選項正確，

．⑤∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAC=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴線段OD不是DE與DA的比例中項，
∴故⑤錯誤．
綜上所述，只有①④正確．
故答案為：①④．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學生的訓練是一道典型的題目．