Question

如圖，點A的坐標是（-2，0），點B的坐標是（6，0），點C在第一象限內且△OBC為等邊三角形，直線BC交y軸于點D，過點A作直線AE⊥BD，垂足為E，交OC于點F．
（1）求直線BD的函數表達式；
（2）求線段OF的長；
（3）連接BF，OE，試判斷線段BF和OE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，OC=BC=0B，
∵點B的坐標為（6，0），
∴OB=6，
在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，
∴OD=OBtan∠OBC=6，
∴點D的坐標為（0，6），
設直線BD的解析式為y=kx+b，則可得，
解得：，
∴直線BD的函數解析式為y=-x+6．
（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFO=30°（對頂角相等），
又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AFO，
∴OF=OA=2．
（3）連接BF，OE，如圖所示：
∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，
∴BE=ABcos∠ABE=4，
∴CE=BC-BE=2，
∴OF=CE=2，
在△COE和△OBF中，，
∴△COE≌△OBF（SAS），
∴OE=BF．
分析：（1）根據△OBC是等邊三角形，可得∠OBC=60°，在Rt△PBD中，解得OD的長度，得出點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式即可；
（2）分別求出∠BAE和∠AFO的度數，即可得出OF=OA=2．
（3）在Rt△ABE中，先求出BE，繼而得出CE=OF，證明△COE≌△OBF，可得BF和OE的數量關系．
點評：本題考查了一次函數的綜合，解答本題的關鍵是熟練掌握待定系數法及數形結合思想的運用，對于此類綜合性較強的題目，要求同學們具有扎實的基本功，熟練掌握學過的性質定理及常見解題方法．