Question

如圖，在某小區的休閑廣場有一個正方形花園ABCD，為了便于觀賞，要在AD、BC之間修一條小路，在AB、DC之間修另一條小路，使這兩條小路等長．設計師給出了以下幾種設計方案：
①如圖1，E是AD上一點，過A作BE的垂線，交BE于點O，交CD于點H，則線段AH、BE為等長的小路；
②如圖2，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，則線段GH、BE為等長的小路；
③如圖3，過正方形ABCD內任意一點O作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點E、F，交AB、CD于點G、H，則線段GH、EF為等長的小路；
根據以上設計方案，解答下列問題：
（1）你認為以上三種設計方案都符合要求嗎？
（2）要根據圖1完成證明，需要證明△

ABE

≌△

DAH

，進而得到線段

BE

=

AH

；
（3）如圖4，在正方形ABCD外面已經有一條夾在直線AD、BC之間長為EF的小路，想在直線AB、DC之間修一條和EF等長的小路，并且使這條小路的延長線過EF上的點O，請畫草圖（加以論述），并給出詳細的證明．

Answer 1

分析：（1）通過證明三角形全等，由全等三角形的對應邊相等可以判斷以上三種設計方案都符合要求；
（2）在圖1中，先由正方形的性質得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根據同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA證明△ABE≌△DAH，進而由全等三角形的對應邊相等即可得出BE=AH；
（3）先過點O作EF的垂線，分別交AB、DC的延長線于點G、H，則線段GH、EF為等長的小路．再進行證明：過點H作HN⊥AB交AB的延長線于點P，過點E作EP⊥BC交BC的延長線于點P，利用AAS證明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF．

解答：解：（1）以上三種設計方案都符合要求；

（2）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，
又∵BE⊥AH，
∴∠ABE=∠DAH=90°-∠BAH．
在△ABE與△DAH中，

∠BAE=∠ADH AB=AD ∠ABE=∠DAH

，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴BE=AH；

（3）如圖，過點O作EF的垂線，分別交AB、DC的延長線于點G、H，則線段GH為所求小路．理由如下：
過點H作HN⊥AG于N，過點E作EP⊥BC交BC的延長線于點P，則∠GNH=∠FPE=90°．
∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，
∴NH=BC，
同理，EP=DC．
∵BC=DC，∴NH=EP．
∵GO⊥EF，∴∠MFO+∠FMO=90°，
∵∠BGM+∠GMB=90°，∠FMO=∠GMB，
∴∠BGM=∠MFO．
在△GHN與△FEP中，

∠GNH=∠FPE ∠NGH=∠PFE NH=PE

，
∴△GHN≌△FEP（AAS），
∴GH=EF．
故答案為：ABE，DAH，BE，AH．

點評：本題考查了數學知識在實際生活中的應用，其中涉及到正方形的性質，余角的性質，全等三角形的判定與性質，難度不大．體現了數學知識來源于生活，并且為生活服務，能夠激發同學們學習數學的熱情．