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4.如圖,直角梯形ABCD中,E為AD邊上的中點,過A作AC⊥BE,交CD邊于C,M是AD邊上一點,且有BM=DM+AD,AD=BA.
(1)求證:CD=DE;
(2)求證:∠MBC=∠ABE.

分析 (1)根據AC⊥BE,求出∠AEB=∠ACD,推出△BAE≌△ADF,得出DC=AE,進一步得出答案即可;
(2)過點B作DC的垂線,垂足為點H,延長AD和BC交于點G,首先得出四邊形ABHD是正方形,證△CDG≌△HCB和△ABE≌△CBH,結合BM=DM+AD,得出對應的角相等,整理得出結論即可.

解答 (1)證明:如圖,

∵AC⊥BE,
∴∠AOE=90°,
∴∠EAC+∠AEB=90°,∠EAF+∠DCA=90°,
∴∠AEB=∠DCA,
在△BAE和△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠D}\\{∠AEB=∠DCA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△BAE≌△ADC,
∴AE=CD,
∵E為AD邊上的中點,
∴AE=DE,
∴CD=DE;

(2)證明:如圖,

過點B作DC的垂線,垂足為點H,延長AD和BC交于點G,
∵∠ADC=∠DAB=∠H=90°,AD=AB,
∴四邊形ABHD是正方形,
∴AD=DH=BH,
∵E為AD邊上的中點,CD=DE,
∴D為HD邊上的中點,
∴DC=DH,
在△CDG和△BHC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠H=90°}\\{DC=CH}\\{∠GCD=∠HCB}\end{array}\right.$,
∴△CDG≌△BHC,
∴GD=DH=AD,∠G=∠HBC,
∴BM=DM+AD=DM+DG=MG,
∴∠G=∠MBC,
∴∠HBC=∠MBC,
在△ABE和△BHC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BH}\\{∠EAB=∠H}\\{AE=CH}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△BHC,
∴∠ABE=∠HBC,
∴∠ABE=∠MBC.

點評 本題主要考查了全等三角形的性質和判定,正方形的判定與性質,等腰三角形的性質,綜合運用性質進行證明是解此題的關鍵,注意輔助線的做法是解決問題的難點.

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