Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0
（1）k取什么值時，方程有兩個實數根；
（2）如果方程的兩個實數根x₁、x₂滿足|x₁|=x₂，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程的根的判別式就可以得到關于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍；
（2）|x₁|=x₂，即方程的兩根相等或互為相反數，當兩根相等時判別式△=0；當方程的兩根互為相反數時，兩根的和是0，利用根與系數的關系可以得到關于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
解答：解：（1）△=[-（k+1）]²-4（k²+1）=2k-3，
∵△≥0，即2k-3≥0，
∴k≥，
∴當k≥時，方程有兩個實數根；
（2）由|x₁|=x₂，
①當x₁≥0時，得x₁=x₂，
∴方程有兩個相等實數根，
∴△=0，即2k-3=0，k=．
又當k=時，有x₁=x₂=＞0
∴k=符合條件；
②當x₁＜0時，得x₂=-x₁，
∴x₁+x₂=0
由根與系數關系得k+1=0，
∴k=-1，
由（1）知，與k≥矛盾，
∴k=-1（舍去），
綜上可得，k=．
點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）x₁+x₂=-；
（5）x₁•x₂=．