Question

如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線y=ax²經(jīng)過A，O，D三點(diǎn)，圖2和圖3是把一些這樣的小正方形及其內(nèi)部的拋物線部分經(jīng)過平移和對(duì)稱變換得到的．
（1）求a的值；
（2）求圖2中矩形EFGH的面積；
（3）求圖3中正方形PQRS的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求得a的值；
（2）根據(jù)圖形分析得：正方形IJKL沿射線JU方向平行移動(dòng)15個(gè)單位長(zhǎng)度與正方形MNUT重合，由平行移動(dòng)的性質(zhì)可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面積；
（3）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與正方形的對(duì)稱性列方程求得即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

2

，5）．
把點(diǎn)D（

5

2

，5）代入y=ax²，
得a=

4

5

．（3分）

（2）如圖1，根據(jù)題意得正方形IJKL沿射線JU方向平行移動(dòng)15個(gè)單位長(zhǎng)度與正方形MNUT重合，由平行移動(dòng)的性質(zhì)可知EH=15．
同理可得EF=10．
∴S_矩形EFGH=15×10=150．（6分）
（本問只要寫出正確結(jié)果便可得3分）

（3）如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

4

5

m²），其中m＜0．
由拋物線、正方形的對(duì)稱性可得ZQ=VQ．
∴

5

2

-m=5-

4

5

m2．
解得m1=-

5

4

，m2=

5

2

（舍去）．
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-

5

4

，

5

4

）．（8分）
∴RQ=2[

5

2

-(-

5

4

)]=

15

2

（9分）
∴S_{正方形PQRS}=RQ²=(

15

2

)2=

225

4

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，特別是要注意二次函數(shù)的對(duì)稱性以及方程思想的應(yīng)用．