Question

已知直角三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，∠C=90°，求它的內(nèi)切圓的半徑r．
小明同學(xué)求得的結(jié)果是r=

1

2

（a+b-c）；小莉同學(xué)求得的結(jié)果是r=

ab

a+b+c

．你認(rèn)為他們解答的結(jié)果都正確嗎？如果你認(rèn)為他們的解答都是正確的，請幫助他們寫出解答的過程．

Answer 1

分析：連接OA、OB、OC、OE、OF、OD，得出正方形OECF，得出OE=OF=CF=CE=r，求出BE=BD=a-r，AF=AD=b-r，根據(jù)AB=c求出即可．

解答：解：都正確，．
理由是：連接OA、OB、OC、OE、OF、OD，
∵⊙O切BC于E，切AB于D，切AC于F，
∴BE=BD，AD=AF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠ACB=90°，OE=OF，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴OE=OF=CE=CF=r，
∴BE=BD=a-r，AD=AF=b-r，
∵AB=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

1

2

（a+b-c）；
∴小明求得的結(jié)果正確；
由三角形的面積公式得：S_△ACB=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB，
∴

1

2

ab=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr，
∴r=

ab

a+b+c

，
∴小莉求得的結(jié)果正確．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，正方形性質(zhì)和判定，切線長定理，三角形面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．