Question

如圖，A、B、C、D四點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】分析：連接DC，則∠ADC=∠ABC，而∠ABC=∠CAD，得到∠ADC=∠CAD，得AC=CD，又因為AD是⊙O的直徑，得到∠DCA=90°，于是AD=AC，而AD=6cm，通過計算即可得到弦AC的長．
解答：解：連接DC，如圖，

∵∠ADC=∠ABC，
而∠ABC=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
又∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°（直徑所對的圓周角是直角），
在Rt△ACD中，
∴AC²+CD²=AD²，
即2AC²=36，AC²=18，
AC=3．
故答案為：3．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓周角的推論：直徑所對的圓周角為90度．