Question

如圖，在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若一拋物線與x軸的交點恰為⊙A與x軸的兩個交點，且拋物線的頂點在直線上y=x+2上，求此拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，因為BC為⊙A的切線，
則AC=4，OA=2，∠ACB=90°
又因為∠AOC=90°，
所以∠OCA=30°，∠A=60°，∠B=30度．
所以OC=OA•tan60°=2，OB=OC•cot30°=2×=6，
所以B（-6，0），C（0，2）．
設直線BC的解析式為y=kx+2，
則0=-6k+2
解得k=，
所以y=x+2．

（2）因為AE=4，OA=2，
所以OE=2，OF=6，
則E（-2，0），F（6，0）．
設拋物線的解析式是y=（9x+2）（x-6），
則y=a（x-2）²-16a，
所以頂點坐標是（2，-16a）．
因為（2，-16a）在直線y=x+2上，
所以-16a=+2，a=-．
所以y=-x²+x+2．

（3）當x=0時，y=2．故點C在拋物線上．
分析：（1）根據A點的坐標和圓的半徑，連接AC，即可在直角三角形ACO中求出OC的長和∠BAC的度數，進而可在直角三角形BOC中，根據OC的長和∠B的度數求出B的坐標，然后用待定系數法求出直線BC的解析式．
另一種解法：得出OC的值和∠B的度數后，OC的值就是直線BC的解析式中c的值，而斜率k就是tan∠B，由此可直接求出直線BC的解析式．
（2）由于E，F正好是拋物線與x軸的交點，根據圓和拋物線的對稱性，可知A點必在拋物線的對稱軸上，可先根據A的坐標求出頂點的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）將C點的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出C點是否在拋物線上．
點評：本題主要考查了函數解析式的確定，切線的性質，勾股定理，解直角三角形等知識點．