Question

設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF．再以對角線AE為邊作第三個正方形，如此下去…
（1）記正方形ABCD的邊長為a₁=1．按照上述方法所作的正方形邊長依次記為a₂，a₃，a₄，…，請寫出a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據以上規律，請你寫出用含字母n的代數式表示第n個正方形的邊長．

Answer 1

分析：（1）求a₂的長即AC的長，根據直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以計算，同理計算a₃、a₄．
（2）由（1）知，a₂=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1可以找出第n個正方形邊長的表達式．

解答：解：（1）a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=（

2

）a₁=2，
a₄=

2

a₃=（

2

）3a₁=2

2

；
（2）由（1）結論可知：

a₂=

2

a₁=

2

，
a₃=

2

a₂=（

2

）a₁=2，
a₄=

2

a₃=（

2

）3a₁=2

2

；
…
故找到規律
a_n=（

2

）^n-1a₁=（

2

）^n-1．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規律的能力，本題中找到a_n的規律是解題的關鍵．