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【題目】已知點AB分別是x軸、y軸上的動點,點CD是某個函數圖象上的點,當四邊形ABCD(ABCD各點依次排列)為正方形時,稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形.例如:如圖l,正方形ABCD是一次函數圖象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數是一次函數,直接寫出它的圖象的所有伴侶正方形的邊長;

(2)若某函數是反比例函數(k>0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D(3m)(m<3)在這個反比例函數圖象上,求m的值及反比例函數解析式;

(3)若某函數是二次函數(a0),它的圖象的伴侶正方形為ABCDCD中的一個點坐標為(45).直接寫出所有伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標及相應的拋物線解析式.

【答案】(1)2(2)m的值為,反比例函數解析式為(3)見解析.

【解析】

1)先正確地畫出圖形,再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長,注意思維的嚴密性.
2)因為ABCD為正方形,所以可作垂線得到等腰直角三角形,利用點D2m)的坐標表示出點C的坐標從而求解.
3)注意思維的嚴密性,拋物線開口既可能向上,也可能向下.當拋物線開口向上時,正方形的另一個頂點也是在拋物線上,這個點既可能在點(45)的左邊,也可能在點(45)的右邊,過點(45)x軸作垂線,利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標;當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論.

(1)(I)當點Ax軸正半軸、點By軸負半軸上時:

正方形ABCD的邊長為.

(II)當點Ax軸負半軸、點By軸正半軸上時:

設正方形邊長為a,易得

解得a=,此時正方形的邊長為.

∴所求伴侶正方形的邊長為

(2)如圖,作DEx軸,CFy軸,垂足分別為點E.F

易證△ADE≌△BAO≌△CBF.

∵點D的坐標為(3,m)m<3

DE=OA=BF=m

OB=AE=CF=3m.

OF=BF+OB=3

∴點C的坐標為(3m,3).

3m=3(3m),解得m=.

∴反比例函數的解析式為.

(3)另一個頂點坐標為(9,-4),拋物線解析式為

另一個頂點坐標為(l4),拋物線解析式為

另一個頂點坐標為(59),拋物線解析式為

另一個頂點坐標為(51),拋物線解析式為.

練習冊系列答案
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(2)如圖②O的半徑為13,弦AB=24,MAB的中點,P是⊙O上一動點,求PM的最大值.

問題解決

(3)如圖③所示,AB、AC、BC是某新區的三條規劃路其中,AB=6km,AC=3km,BAC=60°,BC所對的圓心角為60°.新區管委會想在BC路邊建物資總站點P,在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F.也就是,分別在線段ABAC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸,因此,要在各物資站點之間規劃道路PE、EFFP.為了快捷環保和節約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計).

圖① 圖② 圖③

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