Question

(14分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過A(－2，0)、B(0，1)兩點，且對稱軸是y軸．經過點C(0，2)的直線l與x軸平行，O為坐標原點，P、Q為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的兩動點．

【小題1】(1) 求拋物線的解析式；
【小題2】(2) 以點P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關系，并證明你的結論；
【小題3】(3) 設線段PQ＝9，G是PQ的中點，求點G到直線l距離的最小值．

Answer 1

【小題1】．解：(1) ∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是y軸，∴b＝0．    …………………………1分
∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(－2，0)、B(0，1)兩點，
∴c＝1，a＝－，    ……………………………………3分
∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋1．   ……………4分
【小題2】(2) 設點P坐標為(p，－p2＋1)，
如圖，過點P作PH⊥l，垂足為H，
∵PH＝2－(－p2＋1)＝p2＋1，        …………………6分
OP＝＝－p2＋1，    ………………8分
∴OP＝PH，
∴直線l與以點P為圓心，PO長為半徑的圓相切．    …………………………………9分
【小題3】(3) 如圖，分別過點P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F. 連接EG并延長交DP的延長線于點K，
∵G是PQ的中點，
∴易證得△EQG≌△KPG，
∴EQ＝PK，        ………………………………………11分
由(2)知拋物線y＝－x2＋1上任意一點到原點的距離等于該點到直線l：y＝2的距離，
即EQ＝OQ，DP＝OP，   …………………………………12分
∴ FG＝DK＝(DP＋PK)＝(DP＋EQ)＝(OP＋OQ)，……13分
∴只有當點P、Q、O三點共線時，線段PQ的中點G到直線l的距離GF最小，
∵PQ＝9，
∴GF≥4.5，即點G到直線l距離的最小值是4.5．      …………………………………14分
(若用梯形中位線定理求解扣1分)

解析