Question

（2011廣西崇左，25，14分）（本小題滿分14分）已知拋物線y=x²+4x+m（m為常數）
經過點（0,4）.
（1）      求m的值；
（2）      將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線.已知平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設為直線l₂）與平移前的拋物線的對稱軸（設為直線l₁）關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為-8.
① 試求平移后的拋物線的解析式；
② 試問在平移后的拋物線上是否存在點P，使得以3為半徑的圓P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被圓P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）代入（0,4）得m =4；
（2）①平移前對稱軸l₁為x=" -" 2，平移后對稱軸l₂為x= 2，最小值為-8，故拋物線方程為y=（x-2）²-8.
②設P的坐標為（x₀，y₀），則y₀=-3，x₀=2±或y₀=3，x₀=2±
又P到x=2的距離小于3，故x₀=2±舍去，
綜上，存在這樣的點P，且點P的坐標為（-3，2±）.

解析