Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分別是高和角平分線，已知△BEC的面積是15，△CDE的面積為3，則△ABC的面積為（ ）

A．22.5或20
B．22.5
C．24或20
D．20

Answer 1

【答案】分析：首先過點E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，根據角平分線的性質，即可得EM=EN，然后設S_△ACD=x，根據三角形的面積求解方法，可得===，又由△ACD∽△CBD，可得=（）²，即可得方程：=（）²，解此方程即可求得答案．
解答：解：過點E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴EM=EN，
設S_△ACD=x，
∵S_△ACE=AC•EN=AE•CD，S_△BCE=BC•EM=BE•CD，
∴===，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴=（）²，
∵=，
∴=（）²，
解得：x=2或4.5，
∴S_△ABC=2+18=20或S_△ABC=18+4.5=22.5．
故選A．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質，角平分線的性質以及三角形面積的求解方法．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．