Question

13、在正2004邊形A₁A₂…A₂₀₀₄各頂點上隨意填上1，2，…501中的一個數．試證明：一定存在四個頂點滿足如下條件：
（1）這四個頂點構成的四邊形為矩形；
（2）此四邊形相對兩頂點所填數之和相等．

Answer 1

分析：要證明其為矩形，首先要了解矩形的性質，然后再依據題中條件進行證明，第二問中在多邊形各頂點中，兩個頂點的和在一個大區間中，所以至少有兩組頂點所填數之和相等．

解答：證明：（1）由題意知，頂點A₁與A_i=1002為一組關于中心對稱的點，其中i=1，2，…1002．
則2004個頂點可分為1002組，
順次連接每兩組的頂點，均可得到一個四邊形，
由于對角線互相平分且相等，
所以，得到的四邊形是矩形．

（2）由題意，設在頂點A₁上所填的數為a₁，則
2≤a₁+a_i=1002≤501×2，
即2到1002共有1001個不同的數，
又1002組有1002個數，由抽屜原則知，至少有兩組頂點所填數之和相等，
則此兩組頂點即為所求的四個頂點．

點評：熟練掌握矩形的性質及判定，會證明四邊形為矩形，會進行一些簡單的應用問題．