Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D為拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）．

 

（1）求∠OBC的度數(shù)；

（2）連接CD、BD、DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且S_△OCE=S_{四邊形OCDB}，求此時P點的坐標；

（3）過點P作PF⊥x軸交BC于點F，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+2），

∴由題意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．

在Rt△OBC中，

∵OC=OB=3，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°．

（2）如圖1，過點D作DH⊥x軸于H，此時S_{四邊形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，

∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，

∴S_梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，S_△HBD=•HD•HB=4，

∴S_{四邊形OCDB}=．

∴S_△OCE=S_{四邊形OCDB}==，

∴OE=5，

∴E（5，0）．

設l_DE：y=kx+b，

∵D（1，﹣4），E（5，0），

∴，

解得，

∴l(xiāng)_DE：y=x﹣5．

∵DE交拋物線于P，設P（x，y），

∴x²﹣2x﹣3=x﹣5，

解得 x=2 或x=1（D點，舍去），

∴x_P=2，代入l_DE：y=x﹣5，

∴P（2，﹣3）．

（3）如圖2，

設l_BC：y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得 ，

∴l(xiāng)_BC：y=x﹣3．

∵F在BC上，

∴y_F=x_F﹣3，

∵P在拋物線上，

∴y_P=x_P²﹣2x_P﹣3，

∴線段PF長度=y_F﹣y_P=x_F﹣3﹣（x_P²﹣2x_P﹣3），

∵x_P=x_F，

∴線段PF長度=﹣x_P²+3x_P=﹣（x_P﹣）²+，（1＜x_P≤3），

∴當x_P=時，線段PF長度最大為．