Question

（2007•南通）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，且DE∥AB，CD=．將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△CD′E′（如圖②，點(diǎn)D′、E′分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E′在AB上，D′E′與AC相交于點(diǎn)M．
（1）求∠ACE′的度數(shù)；
（2）求證：四邊形ABCD′是梯形；
（3）求△AD′M的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE′解直角三角形就可以求出∠ACE，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明△D′CA∽△E′CB，再利用相似三角形的性質(zhì)就可以證明四邊形ABCD′是梯形；
（3）AD′M的面積不能直接求出，要采用面積的割補(bǔ)法，首先確定S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M，然后分別求出
它們的面積，其中求S_△C′DM比較復(fù)雜，還要利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方這個(gè)結(jié)論，最后才能求出△AD′M的面積．
解答：（1）解：如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，
∴DE=CD=2，
∴CE=CE′=4．（1分）
如圖2，在Rt△ACE′中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，
∴cos∠ACE′=
∴∠ACE′=30°．（3分）

（2）證明：如圖2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，
∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又，
∴△D′CA∽△E′CB．（5分）
∴∠D′AC=∠B=45°，
∴∠ACB=∠D′AC，
∴AD′∥BC．（7分）
∵∠B=45°，∠D′CB=60°，
∴∠ABC與∠D′CB不互補(bǔ)，
∴AB與D′C不平行．
∴四邊形ABCD′是梯形．（8分）

（3）解：在圖②中，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD′，垂足為F．
∵AD′∥BC，
∴CF⊥BC．
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°．
在Rt△ACF中，AF=CF=，
∴S_△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，
∴D′F=，
∴S_△D′CF=．
同理，S_Rt△AE′C=2，S_{Rt△D′E′C}=4．（10分）
∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC．．（11分）

①∴S_△AE′M=S_△CD′M．
②∵S_△EMC+S_△AE′M=S_△AE′C=2，
③S_△E′MC+S_△CD′M=S_△D′EC=4．
由③-②，得S_△C′DM-S_△AE′M=4-2，
由①，得S_△CD′M=8-4，
∴S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M=3-5．
∴△AD′M的面積是-5．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，難度比較大，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，有等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、面積的割補(bǔ)法和解直接三角形等．