Question

如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面積，然后分別取△A₁B₁C₁三邊的中點A₂B₂C₂，作出了第二個正三角形△A₂B₂C₂，算出第2個正△A₂B₂C₂的面積，用同樣的方法作出了第3個正△A₃B₃C₃，算出第3個正△A₃B₃C₃的面積，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面積是________．

Answer 1

分析：過A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，求出高A₁D，求出△A₁B₁C₁的面積，根據三角形的中位線求出B₂C₂=B₁C₁，A₂B₂=A₁B₁，A₂C₂=A₁C₁，推出△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，得出=同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，推出=得出規律=，代入求出即可．
解答：過A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，
∵等邊三角形A₁B₁C₁，
∴B₁D=，
由勾股定理得：A₁D=，
∴△A₁B₁C₁的面積是×1×=，
∵C₂、B₂、A₂分別是A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁的中點，
∴B₂C₂=B₁C₁，A₂B₂=A₁B₁，A₂C₂=A₁C₁，
即===，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，且面積比是1：4，=
同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，且面積比是1：4，=
…
∴==×=
故答案為：．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形，三角形的中位線的應用，解此題的關鍵是根據求出結果得出規律=，題目比較典型，但有一定的難度．