Question

如圖，線段AB的兩個端點都在函數y=

3

x

（x＞0）的圖象上，AC、BD分別垂直OX于點C、D．且CD=2，設線段CD的中點M的坐標為M（a，0）．
（1）用a表示C、D的坐標；
（2）當梯形ACDB的面積為

4 3

3

時，求a的值；
（3）如果線段CD上存在點P，使得∠APB=90°，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結合圖形易知C（a-1，0），D（a+1，0）；
（2）用a表示A、B縱坐標，即是梯形兩個底，根據面積公式得方程求解；
（3）當以AB為直徑的圓與X軸有交點時就是存在P滿足條件，所以當

1

2

AB≥梯形中位線長時滿足條件．用含a的代數式分別表示上述線段，解不等式求解．

解答：解：（1）∵CD=2，M是CD的中點，∴CM=MD=1，∴OC=a-1，OD=a+1，C（a-1，0），D（a+1，0）；

（2）當x=a-1時，y=

3

a-1

，∴A（a-1，

3

a-1

），
當x=a+1時，y=

3

a+1

，∴B（a+1，

3

a+1

），
S_梯形ACDB=

1

2

（

3

a+1

+

3

a-1

）×2=

4 3

3

，
解得a₁=2，a₂=-

1

2

（不合題意，舍去），
∴a=2；

（3）AB=

(AC-BD)2+CD2

=

( 3 a-1 - 3 a+1 )2+4

，中位線=

1

2

（

3

a-1

+

3

a+1

），
當

1

2

AB=中位線時，有（

3

a-1

-

3

a+1

）²+4=（

3

a-1

+

3

a+1

）²，解得a=±2，根據題意a=2，
當

1

2

AB＞中位線時，a＞2，
∴a的取值范圍是a≥2．

點評：此題將函數與圓的知識綜合起來，難度較大．需同時考慮到直徑所對的圓周角是直角及直線與圓的位置關系等知識．