Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．

（1）求證：DH是圓O的切線；

（2）若A為EH的中點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角證明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；

（2）如圖2，先證明∠E=∠B=∠C，則H是EC的中點，設AE=x，EC=4x，則AC=3x，由OD是△ABC的中位線，得：OD=AC=，證明△AEF∽△ODF，列比例式可得結論；

連接OD，如圖1，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線；

（2）如圖2，

在⊙O中，∵∠E＝∠B，

∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且點A是EH中點，

設AE＝x，EC＝4x，則AC＝3x，

連接AD，則在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝，

∵OD∥AC，

∴∠E＝∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴,

∴,

∴.