Question

如圖，已知在⊙O中，CD過圓心O交⊙O于點P，作AB⊥CD，垂足為D，過點C任作一條弦CF交AB于點E．
（1）求證：CB²=CE•CF；
（2）連接BP，若BD：CD=2：3，求sin∠BPD的值．

Answer 1

分析：（1）連接AC、AF，根據已知條件，易證△ACE∽△FCA，所以

AC

CF

=

CE

AC

，即AC²=CE．CF．
（2）連接BP，因為BD：CD=2：3，設BD=2k，CD=3k，在Rt△BCD中，BC=

(2k)2+(3k)2

=

13

k，所以sin∠CBD=

3k

13 k

=

3 13

13

=sin∠BPD．

解答：（1）證明：連接AC、AF，
∵CD過圓心，且AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠CAE=∠F，
又∵∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

CF

=

CE

AC

，
即AC²=CE．CF，
∴CB²=CE．CF；

（2）解：連接BP，
∵CP是⊙O直徑，
∴∠CBP=90°，
∵BD⊥CP，
∴∠BPD=∠CBD，
∵BD：CD=2：3，
設BD=2k，CD=3k，
在Rt△BCD中，BC=

(2k)2+(3k)2

=

13

k，
∴sin∠CBD=

3k

13 k

=

3 13

13

=sin∠BPD．

點評：本題主要考查了三角形的相似的判定和性質，題目典型，是一個大綜合題，難度較大，有利于培養同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．