Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AF⊥l于點(diǎn)F，AE⊥l于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接ED．

（1）求證：△ACF≌△CBE；

（2）求證：AF=BE+DE；

（3）如圖2，將直線l旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立請(qǐng)說(shuō)明理由，如果不成立AF、BE、DE又滿足怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠BEC=∠ACB=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EBC=∠CAF，即可得到結(jié)論；

（2）如圖1，連接DF，CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EDF=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=DE，于是得到結(jié)論；

（3）不成立，BE+AF=DE，連接CD，DF，由（1）證得△BCE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，CE=AF，由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=DE，即可得到結(jié)論．

【解答】證明：（1）∵BE⊥CE，

∴∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠EBC=∠CAF，

∵AF⊥l于點(diǎn)F，

∴∠AFC=90°，

在△BCE與△ACF中，

，

∴△ACF≌△CBE；

（2）如圖1，連接DF，CD，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴CD=BD，∠CDB=90°，

∵△ACF≌△CBE，

∴BE=CF，CE=AF，

∵∠EBD=∠DCF，

在△BDE與△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF，

∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，

∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴EF=DE，

∴AF=CE=EF+CF=BE+DE；

（3）不成立，BE+AF=DE，

連接CD，DF，

由（1）證得△BCE≌△ACF，

∴BE=CF，CE=AF，

由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，

∴EF=DE，

∵EF=CE+CF=AF+BE=DE．

即AF+BE=DE．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半，證得△BCE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．