Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，3)，B(2，3)，OC＝a.將梯形ABCO沿直線y＝x折疊，點A落在線段OC上，對應點為E.

(1)求點E的坐標；

(2)①若BC∥AE，求a的值；(提示：兩邊互相平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等)

②如圖②，若梯形ABCO的面積為2a，且直線y＝mx將此梯形面積分為1∶2的兩部分，求直線y＝mx的函數表達式．

Answer 1

【答案】(1)點E的坐標為(3，0)；(2) a＝5；(3) y＝x或y＝x.

【解析】

（1）由折疊的性質可知OE=OA，由OA的長即可確定出點E的坐標；

（2）①由平行四邊形的性質可知EC=AB，結合OE的長即可求得a的值；

②根據梯形的面積公式以及梯形的面積可求得a的值，從而可求得梯形的面積，設直線y＝mx交BC于點D，點D的坐標為(xD，yD)，由直線y＝mx將梯形面積分為1∶2兩部分，可得S△OCD＝4或S△OCD＝8，然后根據三角形的面積公式求得yD＝或yD＝，利用待定系數法可得直線BC的函數表達式，將yD分別代入即可求得直線y＝mx的解析式.

（1）由折疊的性質可知OE=OA，

∵A（0，3），∴OA=3，

∴OE=3，

∴點E的坐標為(3，0)；

（2）∵BC∥AE，AB∥CE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴CE＝AB＝2，∴OC＝OE＋CE＝5，

∴a＝5；

（3）S梯形ABCO＝ (AB＋OC)·AO＝2a，即，解得a＝6，

∴S梯形ABCO＝12，

設直線y＝mx交BC于點D，點D的坐標為(xD，yD)，

∵直線y＝mx將梯形面積分為1∶2兩部分，

∴S△OCD＝×12＝4或S△OCD＝×12＝8，

當S△OCD＝4時，×6yD＝4，解得yD＝，

當S△OCD＝8時，×6yD＝8，解得yD＝，

由B(2，3)，C(6，0)，可得直線BC的函數表達式為y＝－x＋，

則當yD＝時，xD＝，此時y＝x；

當yD＝時，xD＝，此時y＝x，

綜上可知y＝x或y＝x.