Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC＝6，BD＝8且AC⊥BD，順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁；再順次連結(jié)四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)得到四邊形A₂B₂C₂D₂……如此進(jìn)行下去得到四邊形A_nB_nC_nD_n．

(1)證明：四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；

(2)寫(xiě)出四邊形A₁B₁C₁D₁和四邊形A₂B₂C₂D₂的面積；

(3)寫(xiě)出四邊形A_nB_nC_nD_n的面積；

(4)求四邊形A₅B₅C₅D₅的周長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：第(1)小題由中點(diǎn)的條件可得三角形中位線，從而得到平行線的結(jié)論，進(jìn)而可得平行四邊形的結(jié)論，再由AC⊥BD可得出直角，根據(jù)矩形的定義可得證．第(2)小題由AC＝6，BD＝8即得四邊形A1B1C1D1是一組鄰邊長(zhǎng)為3、4的矩形，故面積可求，而四邊形A2B2C2D2的面積顯然是四邊形A1B1C1D1面積的一半，因此可求出．第(3)小題易知后一個(gè)圖形的面積都是等于前一個(gè)圖形面積的一半，由此可遞推得四邊形AnBnCnDn的面積．第(4)小題注意到矩形A5B5C5D5相似于矩形A1B1C1D1，可求得四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng)． 　　評(píng)析：本題需要運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)及矩形的判定，還要進(jìn)行面積的計(jì)算，歸納遞推，利用相似形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算等，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．