Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm．點E從點A出發沿AD方向以1厘米/秒的速度向終點D運動；點F從點C出發沿CA方向以2厘米/秒的速度向終點A運動．當點E、F中有一點運動到終點時，另一點也隨之停止．設運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，△AEF和△ACD相似？
（2）連接BF，隨著點E、F的運動，四邊形ABFE可能是直角梯形？若可能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△AFE的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可分兩種情況：△AEF∽△ADC或△AEF∽△ACD，可根據不同的相似三角形得出的對應成比例線段求出t的值；
（2）若四邊形ABEF是直角梯形，只有一種可能即：AB∥EF，此時△AEF∽△CBA，可根據得出的關于AE、AF、BC、AC的比例關系式求出t的值；
（3）可先求出關于三角形AFE的面積與t的函數關系式，三角形AEF中，AE的長為t，AE邊上的高，可用AF的長和∠DAC的正弦值（用相似三角形來求也可以）表示出來，由此可得出關于△AEF的面積和t的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的t的值．
解答：解：（1）在△ABC中，AC=
若△AEF∽△ADC，則
∴
解得：t=
若△AEF∽△ACD，則
∴
解得：t=
答：當t為秒或秒時，△AEF與△ADC相似．

（2）若四邊形ABFE是直角梯形，則△AEF∽△CBA
∴
∴t=
答：當t為時，四邊形ABFE是直角梯形．

（3）過點E作EM⊥AC交于M，

則△AME∽△CBA
∴
∴
∴ME=
∴S_△AEF=AF•EM=（10-2t）×t=-（t-）²+
∴當t=時，△AFE的面積最大，最大值是cm²．
點評：本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質、直角梯形的判定、圖形面積的求法、二次函數的應用等知識點．