Question

（1）計算：如圖①，直徑為a的三等圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，切點分別為A、B、C ，求O₁A的長（用含的代數式表示）。

（2）探索:若干個直徑為a的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中n層圓圈的高度h_n和h_n′（用含n、a的代數式表示）；
（3）應用：現有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米，用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）

Answer 1

解（1）∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，
∴O₁O₂=O₂O₃=O₁O₃=a
又∵O₂A=O₃A
∴O₁A⊥O₂O₃
∴O₁A=
（2）h_n=na，h_n′=（n-1）a+a；
（3）方案二裝運鋼管最多，
即：按圖③的方式排放鋼管，放置根數最多，
根據題意，第一層排放31根，第二層排放30根，設鋼管的放置層數為n，可得（n-1）×0.1≤3.1，
解得n≤35.68，
∵n為正整數，
∴n=35，
鋼管放置的最多根數為：31×18+30×17=1068（根）。