Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，若AB=3，AC=2，則AD的長為

5

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Answer 1

分析：依四點共圓的判定與性質得出∠ECD=∠ABD．由于∠ABD+∠ACD=360°-120°-60°=180°，即∠ECD+∠ACD=180°，∠ACE=180°，那么A，C，E共線；由于∠ADE=60°，AD=ED，因此△ADE也是等邊三角形，可得出∠BAD=60°，AD=AE=AC+AB．

解答：解：∵∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四點共圓，
∴∠ECD=∠ABD，在四邊形ACDB中，
∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠CDB=360°-120°-60=180°=∠ACD+∠ECD，
即∠ACE=180°即A、C、E共線，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADC=∠CDE+∠ADC=∠BDC=∠ADE=60°，AD=ED，
故△ADE是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，
AD=AE=AC+AB=3+2=5．
故答案為：5．

點評：此題主要考查了旋轉的性質和四點共圓，利用①等邊三角形的性質，三角為60度，三邊相等；②四邊形內角和為360度；③一個角的度數為180度，則三點共線；④角的和差關系求解是解題關鍵．