Question

已知整數m滿足6＜m＜20，如果關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有有理根，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析：由題意得m≠0，若關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，則△≥0，并且△為完全平方數．而△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，整數m滿足6＜m＜20，通過分析可得4m+1只能為49，這樣求的m的值，然后代入方程，最后解方程即可．

解答：解：根據題意得，m≠0，若方程有有理根，則△為完全平方數．
∵△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，
又∵整數m滿足6＜m＜20，
∴4m+1=49，即m=12．
則原方程變為：12x²-23x+10=0，
∴x=

23± 49

2×12

=

23±7

24

，
∴x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．
故m=12，此時方程的解為x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根為有理根的條件判別式為完全平方數．