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【題目】已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,OF⊥BC于點F,交⊙O于點E,AE與BC交于點H,點D為OE的延長線上一點,且∠ODB=∠AEC.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求證:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的半徑為5,sinA= ,求BH的長.

【答案】
(1)證明:∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,

∴∠ODB=∠ABC,

∵OF⊥BC,

∴∠BFD=90°,

∴∠ODB+∠DBF=90°,

∴∠ABC+∠DBF=90°,

即∠OBD=90°,

∴BD⊥OB,

∴BD是⊙O的切線;


(2)證明:連接AC,如圖1所示:

∵OF⊥BC,

∴∠CAE=∠ECB,

∵∠CEA=∠HEC,

∴△CEH∽△AEC,

∴CE2=EHEA;


(3)解:連接BE,如圖2所示:

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB=90°,

∵⊙O的半徑為5,sin∠BAE=

∴AB=10,BE=ABsin∠BAE=10× =6,

∴EA= = =8,

∴BE=CE=6,

∵CE2=EHEA,

∴EH= =

在Rt△BEH中,BH= = =


【解析】(1)由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC,再證出∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,即可得出BD是⊙O的切線;(2)連接AC,由垂徑定理得出 ,得出∠CAE=∠ECB,再由公共角∠CEA=∠HEC,證明△CEH∽△AEC,得出對應邊成比例 ,即可得出結論;(3)連接BE,由圓周角定理得出∠AEB=90°,由三角函數求出BE,再根據勾股定理求出EA,得出BE=CE=6,由(2)的結論求出EH,然后根據勾股定理求出BH即可.

練習冊系列答案
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