Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC邊上的點且⊙O與AB、AC都相切，切點分別為D、E．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如果F為上的一個動點（不與D、E），過點F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H，連接OG、OH，有兩個結論：①四邊形BCHG的周長不變，②∠GOH的度數不變．已知這兩個結論只有一個正確，找出正確的結論并證明；
（3）探究：在（2）的條件下，設BG=x，CH=y，試問y與x之間滿足怎樣的函數關系，寫出你的探究過程并確定自變量x的取值范圍，并說明當x=y時F點的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD、OE、OA；構造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性質解答；
（2）連接OF、OG、OH；根據切線長定理和圓的半徑相等，構造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠EOH；進而得到∠GOH==45°；
（3）當x=y時，有AG=AH，根據平行線分線段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根據切線性質，判斷F為AO與圓的交點同時F是的中點．
解答：解：（1）連接OD、OE、OA，
∵O是BC邊上的點且⊙O與AB、AC都相切，
∴OD⊥AB，AC⊥OE，
又∵∠BAC=90°，且OD=OE，
∴四邊形ADOE為正方形，
∴OE=AE，
∴∠OAE=45°；
又∵∠C=45°，
∴OE=2，△OAC為等腰直角三角形，
AE=EC=AC=×4=2，即⊙O的半徑是2；

（2）②的結論正確；理由如下：
連接OF、OG、OH，
由題意，GD、GF以及HF、HE與圓相切，
所以GD=GF，HE=HF，∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠HOE，
而∠DOE=90°，所以可以得到∠GOH==45°．

（3）BG=x，CH=y，
易得：GF=GD=x-2，FH=HE=y-2，AG=4-x，AE=4-y，
所以GH=x+x-4，
由∠A=90°，可得GH²=AG²+AH²，代入上述各數值，
化簡可得y=，由AG≥0，AE≥0，可得x≤0，y≤4，所以2≤x≤4，
當x=y時，有AG=AH，由于AB=AC所以可得GH與BC平行，連接AO，
設AO交GH于F'，有∠OFH=90°，
所以F'為切點F，即F為AO與圓的交點同時F是的中點．
點評：本題是一道關于圓的綜合題，考查了切線的性質、和圓相關的正方形的性質、切線長定理以及結合切線長定理的點的存在性問題，范圍較廣，有一定的開放性，有利于培養同學們的發散思維能力．