Question

20．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點D是邊BC上的一個動點（不運動至點B，C），點E在BC所在直線上，連結AD，AE，且∠DAE=45°
（1）若點E是線段BC上一點，如圖1，作點D關于直線AE的對稱點F，連結AF，CF，DF，EF
①求證：△ABD≌△ACF；
②若BD=1，DE=2，求CE的長；
（2）如圖2，若BD=$\frac{8}{5}$，AB=$\sqrt{2}$，求CE的長．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）①根據軸對稱的性質，得到AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，再根據同角的余角相等，得到∠BAD=∠FAC，即可判定△ABD≌△ACF（SAS）；
②由①可得：△ABD≌△ACF，據此得出∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，進而得到∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，再根據DE=EF=2，運用勾股定理求得CE即可；
（2）分兩種情況進行討論：當點E在BC延長線上時，作點D關于直線AE的對稱點F，連結AF，CF，EF；當點E在線段BC上時，作點D關于直線AE的對稱點F，連結AF，BF，EF．分別根據全等三角形的性質以及勾股定理，求得CE的長即可．

解答 解：（1）①∵點D與點F關于直線AE的對稱，
∴AE垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
即∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

②由①可得：△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE=EF=2，
∴CE=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$；

（2）CE=3或$\frac{5}{4}$．
理由：如圖所示，當點E在BC延長線上時，作點D關于直線AE的對稱點F，連結AF，CF，EF，
根據△ABD≌△ACF，可得BD=CF=$\frac{8}{5}$，
在等腰直角三角形ABC中，AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，
∴CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE+$\frac{2}{5}$=EF，
在Rt△CEF中，CE²+（$\frac{8}{5}$）²=（CE+$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=3；

如圖所示，當點E在線段BC上時，作點D關于直線AE的對稱點F，連結AF，BF，EF，
根據△ABF≌△ACD，可得BF=CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE-$\frac{2}{5}$=EF，
又∵BE=BC-CE=2-CE，
∴在Rt△BEF中，（$\frac{2}{5}$）²+（2-CE）²=（CE-$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=$\frac{5}{4}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質以判定，等腰直角三角形的性質，勾股定理以及對稱軸的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法，解題時注意分類思想的運用．