Question

28、已知等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b、c的長(zhǎng)恰好是方程x²-（2k+2）x+4k=0的兩個(gè)根．求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長(zhǎng)．

解答：解：x²-（2k+2）x+4k=0，
整理得（x-2）（x-2k）=0，
∴x₁=2，x₂=2k，
當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，則2=2k，
解得k=1，這不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，所以只能2k=4，
解得k=2，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10．
所以△ABC的周長(zhǎng)為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．