Question

如圖，在△ABO中，已知點A(

3

，3)、B（-1，-1）、O（0，0），正比例函數y=-x圖象是直線l，直線AC∥x軸交直線l與點C．
（1）C點的坐標為

 

；
（2）以點O為旋轉中心，將△ABO順時針旋轉角α（90°≤α＜180°），使得點B落在直線l上的對應點為B′，點A的對應點為A′，得到△A′OB′．
①∠α=

 

；②畫出△A′OB′．
（3）寫出所有滿足△DOC∽△AOB的點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）直線AC∥x軸交直線l于點C，可知A、C兩點縱坐標相等，直線l解析式為y=-x，可知C點橫、縱坐標互為相反數，可求C點坐標；
（2）已知B（-1，-1）可知OB為第三象限角平分線，又直線l為二、四象限角平分線，故旋轉角為90°，依題意畫出△A′OB′即可；
（3）根據A點坐標可知OA與x軸正半軸夾角為60°，可知∠AOB=165°，根據對應關系，則∠DOC=165°，故OD在第四象限，與x軸正半軸夾角為30°或與y軸負半軸夾角為30°，根據A、B、C三點坐標求OA、OB、OC，利用

OD

OA

=

OC

OB

求OD，再確定D點坐標．

解答：解：（1）∵直線AC∥x軸交直線l于點C，
∴A、C兩點縱坐標為3，代入直線y=-x中，得C點橫坐標為-3，
∴C（-3，3）；

（2）由B（-1，-1）可知，OB為第三象限角平分線，
又直線l為二、四象限角平分線，
∴旋轉角為∠α=∠BOB′=90°，△A′OB′如圖所示；

（3）∵A點坐標可知OA與x軸正半軸夾角為60°，可知∠AOB=165°，
根據對應關系，則∠DOC=165°，故OD在第四象限，與x軸正半軸夾角為30°或與y軸負半軸夾角為30°，
根據A、B、C三點坐標，
∴OA=2

3

、OB=

2

、OC=3

2

，
∵

OD

OA

=

OC

OB

，
∴DO=

CO•AO

BO

=

2 3 ×3  2

2

=6

3

，
∴D點的橫坐標為：3

3

，或縱坐標為：-3

3

，
∴D點坐標為（9，-3

3

），（3

3

，-9）．

點評：本題考查了旋轉變換的作圖，一次函數圖象的性質，相似三角形的判定與性質．關鍵是根據點的坐標，直線解析式的特點求相關線段的長，角的度數，利用形數結合求解．