Question

在直角坐標系內，點O為坐標原點，二次函數y=x²+（k-5）x-（k+4）的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）=-8：
（1）求二次函數的解析式；
（2）請你對此圖象設計一種變換方案，使變換后的圖象經過原點．

Answer 1

解：∵二次函數y=x²+（k-5）x-（k+4）的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-（k-5），x₁•x₂=-（k+4），
而（x₁+1）（x₂+1）=-8，
∴x₁+x₂+x₁•x₂+1=-8，
∴-（k-5）-（k+4）=-9，
∴k=5，
∴二次函數的解析式y=x²-9；
（2）∵二次函數的解析式為y=x²-9，
∴把這個函數圖象沿y軸向上平移9個單位長度后拋物線就經過原點．
分析：（1）由于二次函數y=x²+（k-5）x-（k+4）的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）=-8，而根據根與系數的關系可以得到 x₁+x₂=-（k-5），x₁•x₂=-（k+4），利用這些化簡前面的等式即可求出k，也就求出了二次函數的解析式；
（2）由于平移拋物線的形狀沒有改變，由此得到二次項系數沒有改變，然后根據變換后的圖象經過原點求出解析式，從而可以確定變換方案．
點評：此題分別考查了拋物線與x軸的交點坐標、待定系數法確定函數解析式及拋物線與幾何圖形變換等知識，有一定的綜合性，應該加強這些知識的訓練才能很好解決這類問題．