Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=

1

2

BD，AE延長線與BC的延長線相交于F
（1）試說明AF=BD；
（2）請問BD是∠ABC的平分線嗎？如果是，請說明理由；
（3）請?jiān)趫D中作出△AFC關(guān)于直線AC的軸對稱圖形，記F的對稱點(diǎn)為G，若BG=3cm
試求線段AD的長．

Answer 1

分析：（1）證明△AFC≌△BDC可根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=DB；
（2）首先證明EF=AE，再證明Rt△ABE≌Rt△FBE，可根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到BD是∠ABC的平分線；
（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)△AFC≌△AGC，△AFC≌△BDC，可得△AGC≌△BDC，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DC=GC，再利用AC=BC可得AD=BG=3cm．

解答：解：（1）∵AE⊥BE，
∴∠AED=90°，
∵∠ADE=∠BDC，∠ACB=90°，
∴∠EAD=∠DBC，
∵在△AFC和△BDC中，

∠ACF=∠ACB=90° AC=BC ∠CBD=∠CAF

，
∴Rt△AFC≌Rt△BDC（ASA），
∴AF=BD；

（2）BD是∠ABC的平分線．
理由如下：
∵AE=

1

2

BD，
∴AF=2AE，
∵AF=AE+EF=2AE，
∴EF=AE，
∵在△AEB和△FEB中，

AE=EF ∠AEB=∠FEB=90° EB=EB

，
∴Rt△ABE≌Rt△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，
∴BD是∠ABC的角平分線；

（3）畫圖：
∵△AFC與△AGC關(guān)于直線AC對稱，
∴△AFC≌△AGC，
∵△AFC≌△BDC，
∴△AGC≌△BDC，
∴DC=GC，
∵AC=BC，
∴AC-CD=CB-CG，
即AD=BG=3cm．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．