Question

【小題1】問題1 已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE=DF，則的值為_____．

【小題2】拓展
問題2 已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，連接DE，DF．求證：DE=DF．

【小題3】推廣
問題3 如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變為“CB≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【小題1】的值為  1
【小題2】證明：如圖9．

∵CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，
即∠MAB=∠MBA．
∴MA=MB．
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
在△AFM與△BEM中，
           ∠AFM=∠BEM，
∠MAF =∠MBE，
            MA=MB，
∴△AFM≌△BEM．
∵點D是AB邊的中點，
∴BD = AD．
在△BDE與△ADF中，
          BD = AD，
∠DBE =∠DAF，
BE = AF，
∴△BDE≌△ADF．              
∴DE=DF． 
【小題3】解：DE=DF．
證明：分別取AM，BM的中點G，H，連接DG，FG，DH，EH．（如圖10）

∵點D，G，H分別是AB，AM，BM的中點，
∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．
∴四邊形DHMG是平行四邊形．
∴∠DHM =∠DGM，
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． 
∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．
∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．
∵∠FAM=∠EBM，
∴∠FGM =∠EHM．
∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．
在△EHD與△DGF中，
          EH = DG，
∠EHD =∠DGF，
HD = GF，
∴△EHD≌△DGF．              
∴DE=DF． 

解析