Question

在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以點O為原點，OA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，另有一邊長為2的等邊△DEF，DE在x軸上（如圖（1）），如果讓△DEF以每秒1個單位的速度向左作勻速直線運動，開始時點D與點A重合，當點D到達坐標原點時運動停止．
（1）設△DEF運動時間為t，△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式．
（2）探究：在△DEF運動過程中，如果射線DF交經過O、C、B三點的拋物線于點G，是否存在這樣的時刻t，使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意得OA=5，
當0≤t＜1時，s=t²，
當1≤t＜2時，s=-（2-t）²=-t²+2t-，
當2≤t≤5時，s=；

（2）存在．
依題意，得C（1，），B（5，），拋物線對稱軸為x=3，
拋物線與x軸兩交點坐標為O（0，0），（6，0），
設拋物線解析式為y=ax（x-6），
將C點坐標代入，得a=-，∴y=-x（x-6）=-x²+x，
由C點坐標可知，直線OC解析式為y=x，
∵DF∥OC，
∴設直線DF解析式為y=x+k，
將D（5-t，0）代入得k=（t-5），
∴直線DF：y=x+（t-5），
設△OAG的OA邊上高為h，由S_△OAG=S_梯形OABC，得
×5×h=×（4+5）×，
解得h=，
將y=代入y=-x（x-6）中，得x=3，
∴G（3，），
代入直線DF：y=x+（t-5）中，得t=3.8，
∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．
分析：（1）根據F與B重合前后及E與A重合前后，分三種情況求S關于t的函數關系式；
（2）依題意得D（4-t，0），求出直線OC解析式，根據DF∥OC確定直線DF解析式，再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等，求出G點縱坐標，根據G點在拋物線上求G點橫坐標，代入直線DF解析式求t，判斷是否符號t的取值范圍即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據直角梯形的特點求頂點坐標，確定拋物線解析式，根據面積關系，列方程求解．