Question

開口向下的拋物線與軸的交點為A、B（A在B的左邊），與軸交于點C。連結AC、BC。

(1) 若△ABC是直角三角形（圖1）。求二次函數的解析式；

(2) 在（1）的條件下，將拋物線沿軸的負半軸向下平移（＞0）個單位，使平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點。求的值。

(3) 當點C坐標為（0，4）時（圖2），P、Q兩點同時從C點出發，點P沿折線C→O→B運動到點B,點Q沿拋物線（在第一象限的部分）運動到點B，若P、Q兩點的運動速度相同，請問誰先到達點B？請說明理由.（參考數據：　 ）

Answer 1

拋物線與軸的交點為A（-1，0）、B（4，0）

（1） 若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90⁰ 。

由題易得△ACO∽△COB

∴    ∴   ∴    

∵拋物線開口向下   ∴C(0,2)            ………………2分

把 C（0，2）代入得   

                   ………………2分

（2）由 可得

拋物線的頂點為（，）, 點C(0,2)               ………………1分

當點C向下平移到原點時，

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點       ∴………………1分

當頂點向下平移到軸時，

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點       ∴………………1分

（3）當點C為（0，4）時，拋物線的解析式為

拋物線的頂點為D（，）  ………………1分

 連結DC、DB

∵D（，）   B（4，0）   C（0，4）

∴CD=

DB=

∴CD+DB=2.7+6.75=9.45         ………………2分

∵CO+OB=4+4=8    ∴DB+DC>CO+OB

由函數圖像可知第一象限內的拋物線的長度比CD+DB還要長

所以第一象限內的拋物線的長度要大于折線C→O→B的長度

所以點P先到達點B      ………………2分